无论做什么都是在学习,只要是学习,便不会因为浮华的欲望而焦躁下去.　

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在看下列文章时,请保持自己的判断力,不要轻易的认为是对是错,因为下面的分析来源于网络上的资料,所以无法确保分析的精确性,敬请提示!

核心概念

1.1极限

谈极限就要开始谈历史,因为我们必须要了解极限是为什么被创造出来,它的研究对象是什么?它能够解决上什么问题.

最开始是牛顿为了研究物理学上面的问题(参考问题链接),引入了无穷小,任何被引入数学中的东西都要被定义,他是这样定义的,无穷小最早指的是比零大，但绝对值小于任意正实数的"数",这里实际上立马就出现了悖论,既然无穷小是绝对值小于任意正实数的数,那么如果无穷小是正实数,那么他自身不可能小于自身,但是它又大于0,所以说这个数是不存在的,但是在解决微积分问题时无穷小却又发挥了很好的效果,这让人疑惑.
牛顿没有过于关注无穷小定义的精准性,就在上面建立了导数的定义,然后就被神教徒抓住不放了,一定要看这一段,点击此处链接贝克莱嘲笑牛顿的原因,很明显,牛顿把无穷小认为是一个数,在分子和分母共同除以x的增量时相当于默认x的增量不为0(因为分子分母不能共同除以0),但是在求出来结果的时候,即3x^2+x的增量却直接等于3x^2相当于又认为x的增量为0,因为当时牛顿认为无穷小量是个数,但是却没有精准的说明无穷小是0还是非0?数学很严格,以至于神学家轻松抓住把柄,数学怎么能存在对一个数的取值不确定呢?要么是0,要么不是0,这种即是又不是的认知肯定严重违背了数学的严格性,所以牛顿一直很痛苦这个问题.
其实不能说牛顿不厉害,我们要解决这种是不是0的问题其实有两种方案,第一种是无穷小不是数,而是一种状态,一种接近0的状态,直接推翻牛顿的定义,让它不是数就行了,第二种方案是仍然坚持无穷小是数,但是修改人们对数这个东西的认知,即数不能是以前能够直观认知的数了,将实数进行重新定义,形成超实数域,让无穷小在超实数域里成为一个确实存在的数,这样就不存在违背牛顿的定义了,即无穷小小于任何正实数,但是无穷小本身已经不是正实数了,就不存在自身小于自身的悖论了,所以悖论问题解决了!
这两种方案在数学界进行两大分支,第一种是认为无穷小不是数的标准分析即柯西派将微积分建立在极限理论(这个稍后就讲)的基础上,另一种则认为无穷小是超实数的非标准分析,即美国数学家(点击链接查看)EdwinHewitt超实数理论建立起基于超实数的微积分,现阶段我们在高等数学中学习的即是标准分析,作为非科班出身的工科类学生我们只是研究标准分析,不要考虑不应该过多考虑的事情!!!
好了,我们从标准分析开始,标准分析认为无穷小不是数,那么既然不是数,就必须规定一种状态让我们能够直观的感受到无穷小是什么?

1.2无穷小

1.2.1无穷小定义

无穷小--->若 $(\lim \limits_{x \to a}{\alpha(x)=0})$, 称$({\alpha(x) } )$当$({x \to a})$时为无穷小.

1.2.2 无穷小分类

对于 $({ \alpha \to 0})$ 且 $({ \beta \to 0 })$ 分三种情况
1. case1: $({ \lim \limits_{ } \frac{ \beta } { \alpha } =0
})$ 称 $({ \beta=o(\alpha) })$ 为高阶无穷小.
2. case1: $({ \lim \limits_{ } \frac{ \beta } { \alpha } =k(\neq 0,\infty)
})$ 称 $({ \beta=O(\alpha) })$ 为同阶无穷小.
3. case3: $({ \lim \limits_{ } \frac{ \beta } { \alpha } =1
})$ 称 $({ \beta \sim \alpha })$ 为同阶无穷小.

1.3性质

1.3.1极限性质

• 1.一般性质(汤只讲了两个)
  • 唯一性(极限有且只有一个)
  • 保号性 若 $({ \lim \limits_{ x \to a } {f(x)}
    = A \begin{cases}
    \lt 0 \\
    \gt 0 \\
    \end{cases} , \exists \delta \gt 0
    })$ 当0<|x-a|< $({ \delta})$ 时,f(x) $({ \begin{cases}
    \lt 0\\
    \gt 0\\
    \end{cases} })$

[应用简介]:
    注意汤讲的例题,我们使用保号性的时候通常考虑的是 极限函数所具有的大于0或者小于0的性质, 即函数具有的值正负性质,如果我们的问题过于关注函数的本身,比如函数中存在变量参数,此时我们通常考虑保号性

EX: $({ f\text{'}(1)=0, \lim \limits_{ x \to 1 } \frac{ f \text{'}(x) } { (x-1)^{3} } =-2
})$,求x=1是什么点.答案:最大值点

• 2.存在性质[准则]
  • [题型一]n项和极限
    • 方法1:先求和再求极限
    • 方法2:夹逼定理
    • 方法3:定积分定义 $({ \lim \limits_{ n \to \infty } \frac{ 1 } { n } \sum_{i=1}^{n} f( \frac{ i } { n } )= \int_0^1 f(x) dx
      })$
  • [题型二]极限存在性质证明
  • [性质一]夹逼定理(用于求极限值)
  • [性质二]单调有界的数列必有极限[不需要学生证明这个性质]用于证明极限的存在

$${\text{夹逼定理证明:}
\begin{cases}
a_n\le b_n \le c_n\\
\lim \limits_{ n \to \infty } c_n =A\\
\end{cases} \Leftarrow \Rightarrow \lim \limits_{ n \to \infty }b_n=A \begin{cases}
\text{以上数列用在消次上}\\
\text{所以汤说条件是不齐}\\
\end{cases}\\
}$$

1.3.2无穷小性质

• 一般性质
• 等价性质

1.4重要极限

1.4.1几何理解

1.4.2两个重要极限

1. $({ \lim \limits_{ \Delta \to 0 } \frac{ sin \Delta } { \Delta }=1
   })$
2. $({ \lim \limits_{ \Delta \to 0 } (1+ \Delta )^{ \frac{ 1 } { \Delta }
   }=e })$

[题型三]不定型极限(非常重要)
$${
\begin{cases}
\frac{ 0 } { 0 },1^{\infty}
\\
\frac{ \infty } { \infty }
\\
\end{cases}
}
$$

文献来源

[1]. 无穷小量究竟是否为0
[2]. 微分和导数的关系
[3]. 极限的精确定义
[4]. 超实数
[5]. 微积分百科
[6]. 殷君芳. 用等价无穷小代换求极限的误区及一点补充[J]. 宜春学院学报, 2011, 33(4):25-26.